作者：桂。
时间：2017-04-04 15:51:03
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【读书笔记12】
前言
西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第九章：递归最小二乘（Recursive least squares， RLS）。记得看完第一章之后，半个月没有碰这本书，后来想着开了个头，还是该看到第十章的卡尔曼滤波才好，前前后后又花了半个月，总算看到了第九章。回头看看，静下心来，确实容易理清思路，也学到不少知识。虽然前路漫漫，编程水平不够、机器学习的理论还没多少概念、算法基础没多少、收入也很微薄......不过还是该表扬一下自己。既然选择了道路，自己还是该耐心走下去，哪怕上不了山顶，也该看看高处的风景。
言归正传，本文主要包括：
1）RLS原理介绍;
2）RLS应用实例;
内容为自己的学习记录，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。
一、RLS原理介绍
A-问题描述
考虑指数加权的优化问题：
$0 < \lambda \le 1$为遗忘因子，这里只讨论平稳情况，取$\lambda = 1$。
从而得到最优解：
其中：
可以看到，$\lambda = 1$对应的就是最小二乘思想。回头看看之前，用的是随机梯度下降的思想，这是RLS与LMS很明显的不同点。
由于$x(i)$、$y(i)$时刻在变换，最优解如何更新呢？
B-迭代更新
首先给出文中用到的矩阵求逆引理：
矩阵求逆引理：
定义逆矩阵：
利用矩阵求逆引理：
其中$k(n)$称为增益向量，由上式得出：
借助迭代：
可以得到权重的更新公式：
其中
为估计误差：
至此实现RLS的整个步骤。
二、RLS应用实例
A-算法步骤
结合上文的推导，给出RLS的迭代步骤：
步骤一：初始化
其中$\delta $为很小的正数，如1e-7；
步骤二：迭代更新
B-代码应用
给出主要代码，可以对比分析：
function [e,w]=rls(lambda,M,u,d,delta)% recursive least squares,rls.% Call:% [e,w]=rls(lambda,M,u,d,delta)%% Input arguments:% lambda = constant, (0,1]% M = filter length, dim 1x1% u = input signal, dim Nx1% d = desired signal, dim Nx1% delta = constant for initializaton, suggest 1e-7.%% Output arguments:% e = estimation error, dim Nx1% w = final filter coefficients, dim Mx1% Step1:initialize% 2017-4-4 14:34:33, Author: Guiw=zeros(M,1);P=eye(M)/delta;u=u(:);d=d(:);% input signal lengthN=length(u);% error vectore=d.';% Step2: Loop, RLSfor n=M:N uvec=u(n:-1:n-M+1); e(n)=d(n)-w'*uvec; k=lambda^(-1)*P*uvec/(1+lambda^(-1)*uvec'*P*uvec); P=lambda^(-1)*P-lambda^(-1)*k*uvec'*P; w=w+k*conj(e(n));end
给出应用：
[s, fs, bits] = wavread(filename); s=s-mean(s); s=s/max(abs(s)); N=length(s); time=(0:N-1)/fs; clean=s';ref_noise=.1*randn(1,length(s));mixed = clean+ref_noise;mu=0.05;M=2;espon=1e-4;% [en,wn,yn]=lmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed);% [en,wn,yn]=nlmsFunc(mu,M,ref_noise,mixed,espon);delta = 1e-7;lambda = 1;[en,w]=rls(lambda,M,ref_noise,mixed,delta);
对应结果图：
可以看出不像NLMS/LMS有一个慢速收敛的过程，RLS在开始阶段就得到较好的降噪。
C-与LMS对比
与LMS对比，可以观察到RLS的几点特性：
- 平稳环境λ=1，其实是最小二乘的思想；LMS/NLMS是随机梯度下降思想；
- 最小二乘是直接得出结果，随机梯度下降收敛慢，因此RLS比LMS/NLMS收敛快一个数量级；
参考：
- Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.